Miroliubov 1.24: un tubo, dos respuestas publicadas y por qué la corrección de segundo orden no existe

Los solucionarios de «los 7 rusos» circulan por toda Latinoamérica desde hace décadas, y con ellos circulan también sus errores. El problema 1.24 del Miroliúbov es un buen espécimen: un enunciado de tres líneas, una respuesta limpia, una respuesta incorrecta publicada y, si uno insiste en exprimirlo, una lección de mecánica del continuo que el propio enunciado no sospecha.

Enunciado

Un tubo de acero de longitud $l = 100$ cm tiene cavidad de diámetro $d = 2$ cm y diámetro exterior $2d = 4$ cm. Bajo carga axial de tracción $P$, el volumen de la cavidad aumenta $\Delta V = 0.1\ \text{cm}^3$. Con $E = 2\times 10^6\ \text{kgf/cm}^2$ y $\nu = 0.3$, hallar $P$.

Solución lineal

Geometría:

Estado de tensión uniaxial homogéneo: $\sigma_z = P/A$, con superficies laterales libres de tracción, tanto la exterior como la interior, de modo que $\sigma_r = \sigma_\theta = 0$ en todo el espesor.

Las deformaciones son entonces uniformes:

El punto que decide el problema es que la cavidad es un vacío cuya frontera es material. Su diámetro se deforma con $\varepsilon_t$ y su longitud con $\varepsilon_z$, exactamente igual que cualquier fibra del sólido. A primer orden:

Despejando:

Los $\pi$ se cancelan y el resultado es exacto en aritmética entera, señal de que el problema fue diseñado alrededor de esta cadena.

Chequeo de límite: si $\nu \to 0.5$ (material incompresible), la fórmula diverge. Correcto. Un material que no cambia de volumen no puede producir $\Delta V_{\text{cav}} \neq 0$ bajo este estado de tensión, así que no existe $P$ finito que satisfaga el dato. La divergencia ahí no es defecto de la fórmula, es la física respondiendo que el dato se volvió imposible.

La respuesta incorrecta que circula

En al menos un solucionario publicado la respuesta reportada es $P = 3750$ kgf. El diagnóstico del error es inmediato al notar que

la solución usó como $V$ el volumen del cilindro completo, $\tfrac{\pi (2d)^2}{4} l = 400\pi\ \text{cm}^3$, en lugar del volumen de la cavidad. Es decir, aplicó la dilatación volumétrica correcta al volumen equivocado. La fórmula intermedia $\Delta V/V = (1-2\nu)\sigma/E$ es idéntica en ambos casos: el descuido está en la lectura del enunciado, no en la mecánica.

¿Y si pedimos más precisión? Segundo orden y elasticidad finita

Con $\varepsilon = \sigma/E \approx 7.96\times 10^{-4}$, uno podría tentarse a «mejorar» la respuesta con no-linealidad geométrica: usar estiramientos $\lambda$ en vez de deformaciones infinitesimales y recalcular $P$ con la cinemática exacta.

El ejercicio es legítimo y se puede hacer en forma cerrada. La deformación es homogénea triaxial, $\mathbf{F} = \operatorname{diag}(\lambda_t, \lambda_t, \lambda_z)$ con $J = \lambda_t^2 \lambda_z$, y como $\mathbf{F}$ es constante, $\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} = 0$ se satisface idénticamente para cualquier ley constitutiva homogénea; la solución del problema de valores de frontera es exacta, sin aproximación de campo. La condición de superficies laterales libres fija $\lambda_t$ en función de $\lambda_z$ a través de la ley constitutiva, y el dato $\Delta V_{\text{cav}}$ cierra el sistema.

Pero aquí el ejercicio devuelve su resultado más útil, que es negativo: la respuesta depende de qué ley constitutiva compresible se postule. «Acero con $E$ y $\nu$» no define una única teoría más allá del primer orden. Las extensiones naturales, que consisten en hacer lineal la relación entre distintos pares conjugados de deformación y tensión (deformación ingenieril con tensión nominal, Green–Lagrange con segunda Piola–Kirchhoff, Hencky con Kirchhoff), coinciden a $O(\varepsilon)$ por construcción y se abren en abanico a $O(\varepsilon^2)$.

Numéricamente, para este problema las tres variantes arrojan $P$ entre $14\,987$ y $15\,046$ kgf, una banda de $\pm 0.2\%$ alrededor de la solución lineal. Esa dispersión no es error numérico: es indeterminación constitutiva. Los parámetros $E$ y $\nu$, que es todo lo que el enunciado provee, no contienen la información necesaria para elegir entre las extensiones, y ningún experimento a $\varepsilon \sim 10^{-3}$ las distingue; la separación se vuelve físicamente posible recién a $\varepsilon \sim 10^{-1}$, territorio de elastómeros, no de acero.

Lo que el problema enseña de verdad

1. A primer orden, la cavidad se deforma como el material que la rodea, y la dilatación volumétrica $(1-2\nu)\varepsilon$ aplicada al volumen correcto da $P = 15\,000$ kgf. Es la única afirmación con contenido físico a la escala de deformación del problema.
2. El error publicado es de lectura, no de mecánica, y por eso sobrevive décadas de fotocopias: la fórmula que rodea al descuido es correcta.
3. La «corrección» de segundo orden no existe como número único. Pedirla revela que el modelo lineal no aproxima a una teoría no-lineal privilegiada; es el tronco común de una familia de teorías que solo el experimento, a deformaciones mucho mayores, podría separar. La precisión que uno cree ganar refinando la cinemática se disuelve en una ambigüedad constitutiva del mismo tamaño.

Ese último punto es la razón por la que un problema de primer capítulo merece un post. Es el ejemplo más barato que conozco de un principio que reaparece en todo el análisis no-lineal: la no-linealidad geométrica sin decisión constitutiva explícita es precisión ilusoria.

Derivación completa de la cascada de elasticidad finita (los tres modelos compresibles, la degeneración al caso lineal y las verificaciones de límite) disponible a pedido; probablemente sea el segundo post de esta serie.